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新型コロナウイルス、1万人規模のイベントに感染者がいる確率

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新型コロナウイルス、1万人規模のイベントに感染者が含まれる確率

「K-1みたいな大規模なイベントを開催しちゃって大丈夫なの?」
と思ったので、大規模イベントの会場に新型コロナウィルスの感染者が紛れ込む確率を計算してみました。

3月24日現在、新型コロナウイルスの陽性が確認されているのが1,128人。
日本の人口が1億2千万人。
10万人に1人くらいの割合ですね。

まだ発見されていない感染者も潜伏しているだろうから、多めに見積もって1万人に1人位は感染していると仮定しましょう。

1万人に1人の確率で感染者がいる状態で、1万人の人間が集まると、感染者が紛れ込む確率は…

100%?

そんなわけないな。
どうやって計算するんだっけ?

中学校の数学を復習

「1億人の中に新型コロナウイルス感染者が1万人いた場合」という話をしたいのですが、桁が大きいと計算がややこしくなります。

そこで、
「◯人の中から、×人を取り出した時、~~~な人が混じっている確率」
という話を、小さい数字で復習しておきましょう。

たぶん、中学生のときに習う内容です。

前提条件

ここに10人の人間がいます。
女性が8人、男性が2人です。

10人はそれぞれ、1~10番までの番号札を持っています。
くじで番号を引き、10人の中から◯人を選び出します。

10人から2人選んだ時、そこに1人以上の男性が混ざっている確率

こういうとき、まずはくじで選ばれたメンバー全員が女性である確率を計算します。

10人(女8、男2)から1人を選んだ時、それが女性である確率。

8/10 = 80.0%

残りの9人(女7、男2)から1人を選んだ時、それが女性である確率。

7/9 = 77.8%

併せて考えると、2人連続して女性を引く確率は、

8/10 × 7/9 = 62.2%

2人選んで全員が女性である確率が62.2%なので、
それ以外の確率(男性が1人もしくは2人混ざっている確率)は37.8%になります。

100% - 62.2% = 37.8%

10人から3人選んだ時、そこに1人以上の男性が混ざっている確率

3人全員が女性である確率、

8/10 × 7/9 × 6/8 = 46.7%

全員が女性である確率を計算するとき、8/10、7/9、6/8…と分子も分母も1つずつ数字が小さくなります。
ここはポイントなので覚えておきましょう。

3人連続で女性を選ぶ確率は46.7%。
それ以外の確率(男性が1人以上混ざっている確率)は53.3%。

100% - 46.7% = 53.3%

新型コロナウイルスの話に置き換える

基本的なルールを確認しておきましょう。

男性が1人以上混ざっている確率を計算するには

  • 全員が女性である確率を計算
  • 100% ー 全員が女性である確率 = 男性が1人以上混ざっている確率

これをコロナの話に置き換えてみます。

1万人規模のイベントをしたときに、コロナの感染者が1人以上紛れ込んでいる確率は、

  • 全員が非感染者である確率を計算
  • 100% - 全員が非感染者である確率 = 感染者が1人以上混ざっている確率

となります。

新型コロナウイルス、1万人のイベントに感染者がいる確率

前提条件

3月24日現在、新型コロナウイルスのPCR検査等で1,128人の陽性が確認されています。

この10倍程度の1万人が新型コロナウイルスに感染しているが、発見されずに日本に潜伏していると仮定します。

また、計算しやすくするために日本の人口を1億人に設定します。

  • 人口: 1億人
  • 感染者: 1万人
  • 非感染者: 9999万人
  • 有病率: 0.01%(1万人に1人)

1億人から1万人取り出す、その中に1人も感染者がいない確率

1万人が集まって、それら全員が非感染者である確率を計算します。

9999万人/1億人 × 99,989,999/99,999,999 × 99,989,998/99,999,998 × …… × 99,980,000/99,990,000
≒ 0.9999の1万乗
= 36.8%

分母と分子が1人ずつ小さくなりながら、掛け算を1万回繰り返しています。

  • 最初の項、9999万人/1億人 = 0.9999
  • 最後の項、9998万人/9999万人 = 0.9998999899989999

最初と最後の項がほぼほぼ同じ数値なので、0.9999を1万回掛け算したものとして近似しています。

1万人が集合した時に、その中に新型コロナの感染者がいない確率は36.8%。

1億人から1万人取り出す、その中に1人以上の感染者が混入している確率

1万人が集まったときに、新型コロナウイルスの感染者が1人も含まれていない確率は36.8%。
新型コロナウイルスの感染者が1人以上含まれている確率は63.2%。

100% - 36.8% = 63.2%

1億人の中に1万人(1万人に1人の割合)という有病率が低い状態を想定しています。
しかし、それでも1万人もの人が集まると、その中に1人以上の感染者が混入する確率は、63.2%。

50%を越えているので、集団の中に感染者がいない確率よりも、いる確率の方が高いってことですね。

「1人以上」なので、紛れ込んだ感染者は、1人かもしれないし、2人かもしれないし、3人かもしれないし、それよりもさらに多いかもしれない。

算数が苦手な人向けの説明

ガチャの確率

  • アタリ: 0.01%
  • ハズレ: 99.99%

ガチャを1万回連続で引く

  • 1万回連続でハズレの確率: 36.8%
  • 最低1回は当たる確率: 63.2%

計算過程を飛ばして答えだけを書くとこんな感じ。
単発では99.99%のハズレでも、1万回連続でハズレになる確率は低くなります。

つまり、1万人が1か所に集まったとき、

  • 1万人全員が新型コロナ非感染者である確率: 36.8%
  • 新型コロナ感染者が1人以上含まれる確率: 63.2%

新型コロナウイルス、6500人のイベントに感染者がいる確率

2020年3月22日にさいたまスーパーアリーナで行われたK-1の興行イベント。

主催者発表によると6,500人の観客が来場したそうです。
事前情報では1万人だったけど、自主的に来なかった人もいたのかな。

6,500人イベントで感染者が1人もいない確率

0.9999 の 6,500乗 = 52.2%

6,500人イベントに感染者がいる確率

100% - 52.2% = 47.8%

お?
6,500人だと、感染者がいない確率の方がギリギリ上回りますね。

新型コロナウイルス、5万人のイベントに感染者がいる確率

ついでだから他にもいろいろ計算。

5万人イベントで感染者が1人もいない確率

0.9999 の 5万乗 = 0.7%

5万人イベントに感染者がいる確率

100% - 0.7% = 99.3%

ドームが満員になるクラスのイベントの場合は、まず間違いなく何かが起こりそうですね。

新型コロナウイルス、30人の教室に感染者がいる確率

30人が集まったときに感染者が1人もいない確率

0.9999 の 30乗 = 99.7%

30人が集まったときに感染者がいる確率

100% - 99.7% = 0.3%

学校が再開して、クラスに30人の児童がいたとしても、その中に新型コロナの感染者がいる確率は0.3%程度です。
大したことないですね。

しかし、小中学生だけで全国に900万人くらいの児童がいます。
1万人に1人の割合で感染者が潜伏していると仮定すると、900人くらいの小中学生が新型コロナに感染している可能性もあります。
子どもは新型コロナに感染しにくいという噂もありますが、まだ安心できません。

我が子が通う、我が子のクラス(30人)でたまたま新型コロナの感染者がいる確率は0.3%程度。
(局所的に見た場合)

しかし、日本全国たくさんある学校の中でどこかのクラスでは必ず感染者が見つかるはずです。
学校再開とは、900万人規模のイベント(30人規模の集会が全国30万か所で発生)とみなすことができるからです。
(大局的に見た場合)

まとめ

1万人が1か所に集まった場合、その中に新型コロナウイルスの感染者が隠れている確率を計算してみました。

  • 1万人が集まると、感染者が混入している確率は63.2%。
    そこそこ高いですね。

もしも感染者が1人いたとき、周りに必ず感染するとは限りませんが、結構危ないんじゃないでしょうか。

  • 6,500人が集まると、感染者が混入している確率は47.8%。
    五分五分といったところでしょうか。
  • 5万人が集まると、感染者が混入している確率は99.3%。
    絶対何か起こると考えたほうがいいでしょう。
  • 30人が集まると、感染者が混入している確率は0.3%。
    局所的に見た場合は、たぶん大丈夫、何も起こらない。

30人規模の集まりが全国30万か所で行われる(累計900万人イベント)みたいな考え方をした場合は、絶対どこかでは何かが起こるでしょう。

国民が皆善良で、発熱がある場合は外出しないという原則をきちんと守っている場合は、シミュレーションよりも数値は落ちると思います。

新型コロナウイルス(COVID-19、SARS-CoV-2)
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