誕生日のパラドックスとは？

誕生日のパラドックスとは？

誕生日のパラドックスは、確率論の現象の一つで、多くの人々が同じ誕生日を持つ確率が一般的な直感に反して高くなるというパラドックスです。このパラドックスは、直感的には同じ誕生日を持つ確率が低いと思われるにもかかわらず、実際には驚くほど高い確率で起こることが示されます。以下では、このパラドックスの背後にある原理と詳細について説明します。

問題の設定

誕生日のパラドックスの問題は、次のように定義されます。特定のグループ内で、何人の人々がいれば、少なくとも2人の人が同じ誕生日を持つ確率が50％以上になるか？つまり、同じ誕生日を持つ2人が1対以上いる確率を求める問題です。

基本的な考え方

直感的には、誕生日は365日（閏年を含む）の中からランダムに選ばれるため、同じ誕生日を持つ確率は低いと考えるかもしれません。しかし、この問題では、グループ内の全ての人との比較を考える必要があります。

確率の計算

誕生日のパラドックスの確率を計算するために、補集合を考えます。すなわち、少なくとも2人が同じ誕生日を持たない確率を求めます。最初の人の誕生日はどんな日でも構いません。2人目が異なる誕生日を持つ確率は364/365（1日を除いて全ての日が異なる日）です。3人目もそれまでの全ての人と異なる誕生日を持つ確率は363/365、以降も同様に計算します。

同じ誕生日を持たない確率の計算

上記の確率を掛け合わせることで、少なくとも2人が同じ誕生日を持たない確率を計算できます。これは0.997となります。従って、少なくとも2人が同じ誕生日を持つ確率は1から0.997を引いたもの、すなわち0.003、または約0.3%です。

必要な人数

上記の計算から、50％以上の確率で少なくとも2人が同じ誕生日を持つには、約23人の人々が必要です。この数が意外に小さいことが、このパラドックスの特徴です。

確率が増加する理由

このパラドックスの背後にある理由は、比較対象の組み合わせの数が急速に増加することです。増加していく組み合わせの中で、同じ誕生日を持つ組み合わせが現れる確率が高くなるため、確率が増加します。

誕生日のパラドックスは、確率論の面白い側面を示すものであり、一見直感に反する結果を生み出す典型的な現象です。このパラドックスは、統計学や確率論の教育、さらにはセキュリティや暗号学などの分野で応用されることもあります。